Ambas as palavras têm uma grande variedade de significados e alguns deles são sinônimos.

Vamos analisar o conteúdo abaixo para descobrirmos as diferenças entre “raspar” e “rapar“.

Raspar significa:

1) Desbastar ou alisar a superfície de algo:

…raspar madeira.

2) Ferir ou tocar de raspão:

A faca raspou sua perna.

O carro raspou no poste.

3) Apanhar ou sacar integralmente dinheiro de onde estava guardado:

Raspou as economias para presentear os netos.

4) Correr para fugir ou escapar sorrateiramente:

Raspou-se pela porta dos fundos e não mais voltou.

Rapar significa

1) Roçar o mato:

Ele precisa rapar o mato da plantação.

2) Pegar o que ainda sobrou, o que restou:

O faminto rapou a panela até o fundo.

3) Extinguir, matar:

A peste rapou milhares de almas.

Raspar e rapar significam:

1) Transformar em raspa; ralar:

Raspar o queijo/ rapar as cenouras.

2) Cortar rente o cabelo ou pelo de alguma parte do corpo:

Raspar/rapar a cabeça.

3) Furtar, rapar, roubar:

Rapou/raspou o dinheiro que estava na gaveta.

4) Retirar a sujeira aderida a alguma coisa:

Rapar/raspar o fundo da frigideira.

Exemplos retirados do Dicionário Digital Aulete.
Referência: míni Dicionário da Língua Portuguesa Houaiss, Rio de Janeiro | 2009.